Ordre et opérations

Activité

On sait que $\;-2 \leqslant 5$.

Multiplier les deux membres par $3$, puis par $-3$. Que constate-t-on dans chaque cas ?

Ordre et addition

Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ des réels :

$$\boxed{\begin{aligned} a \leqslant b &\implies a + c \leqslant b + c \\ a \leqslant b \;\text{ et }\; c \leqslant d &\implies a + c \leqslant b + d \end{aligned}}$$

L'addition ne change jamais le sens de l'inégalité.

Exemple

Soient $a \leqslant \dfrac{5}{7}$ et $b \leqslant \dfrac{16}{7}$. En additionnant membre à membre :

$$\begin{aligned} a + b &\leqslant \dfrac{5}{7} + \dfrac{16}{7} \\ &\leqslant \dfrac{21}{7} \\ &\leqslant 3 \end{aligned}$$

Ordre et multiplication

Soient $a$, $b$, $c$, $d$ et $k$ des réels :

$$\boxed{\begin{aligned} k \geqslant 0 &: \; a \leqslant b \iff ka \leqslant kb \\ k \leqslant 0 &: \; a \leqslant b \iff ka \geqslant kb \\ 0 \leqslant a \leqslant b \;\text{et}\; 0 \leqslant c \leqslant d &: \; ac \leqslant bd \end{aligned}}$$

Exemples

• Si $a \leqslant \dfrac{2}{\sqrt{3}}$, alors $-\sqrt{3}\,a \geqslant -2$, car $-\sqrt{3} \leqslant 0$.
• Si $0 \leqslant x \leqslant \dfrac{3}{2}$ et $0 \leqslant y \leqslant 2$, alors $xy \leqslant 2 \times \dfrac{3}{2}$, c'est-à-dire $xy \leqslant 3$.

Ordre et inverse

Soient $a$ et $b$ de même signe et non nuls :

$$\boxed{\begin{aligned} 0 < a \leqslant b &\implies 0 < \dfrac{1}{b} \leqslant \dfrac{1}{a} \\ a \leqslant b < 0 &\implies \dfrac{1}{b} \leqslant \dfrac{1}{a} < 0 \end{aligned}}$$

Le passage à l'inverse renverse l'ordre. Si $a$ et $b$ sont de signes contraires, la règle ne s'applique pas.

Ordre, carré et racine carrée

$$\boxed{\begin{aligned} 0 \leqslant a \leqslant b &\implies \sqrt{a} \leqslant \sqrt{b} \;\text{ et }\; a^{2} \leqslant b^{2} \\ a \leqslant b \leqslant 0 &\implies a^{2} \geqslant b^{2} \end{aligned}}$$

Exemple : de $-3 \leqslant -2$ on tire $9 \geqslant 4$.

Application

1. Sachant que $0 < x \leqslant 3$, encadrer $\dfrac{1}{x}$.
2. Sachant que $-\dfrac{5}{6} \leqslant x < 0$, encadrer $\dfrac{1}{x}$.
3. Résoudre $\;-2x > 6$.
4. Sachant que $2 < x < 5$, encadrer $-3x+1$.