BACSCHOOL

Exercices corrigés : L'ordre et la comparaison

3 exercices sur « L'ordre et la comparaison », partie 1 du cours « L'ordre dans ℝ » — Tronc Commun Sciences.

Exercice 1

Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$. Comparer $A = \dfrac{2n-1}{2n}$ et $B = \dfrac{2n}{2n+1}$.

Réduire $A-B$ au même dénominateur.

Étape 1 : réduire : Le dénominateur commun est $2n(2n+1)$ :
$$\begin{aligned} A - B &= \frac{(2n-1)(2n+1) - 2n \times 2n}{2n(2n+1)} \\ &= \frac{4n^{2}-1 - 4n^{2}}{2n(2n+1)} \\ &= \frac{-1}{2n(2n+1)} \end{aligned}$$
Étape 2 : signe : Comme $n \geqslant 1$, le dénominateur $2n(2n+1)$ est strictement positif, et le numérateur vaut $-1$.
Conclusion $A - B < 0$, donc $$\boxed{\dfrac{2n-1}{2n} < \dfrac{2n}{2n+1}}$$

Soient $a$ et $b$ deux réels positifs. Comparer $\sqrt{a+b}$ et $\sqrt{a} + \sqrt{b}$.

Les deux nombres sont positifs : comparer leurs carrés.

Étape 1 : élever au carré : Les deux quantités étant positives, on peut comparer leurs carrés :
$$\begin{aligned} \left(\sqrt{a+b}\right)^{2} &= a + b \\ \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^{2} &= a + 2\sqrt{ab} + b \end{aligned}$$
Étape 2 : soustraire : La différence des carrés vaut $-2\sqrt{ab}$, négative ou nulle car $a$ et $b$ sont positifs.
Conclusion $$\boxed{\sqrt{a+b} \leqslant \sqrt{a} + \sqrt{b}}$$ avec égalité seulement si $a = 0$ ou $b = 0$.

Comparer $\sqrt{5}+\sqrt{3}$ et $\sqrt{15}$ sans calculatrice.

Comparer les carrés, puis minorer $\sqrt{15}$.

Étape 1 : les carrés : Les deux nombres sont positifs :
$$\begin{aligned} \left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^{2} &= 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15} \\ \left(\sqrt{15}\right)^{2} &= 15 \end{aligned}$$
Étape 2 : comparer : On étudie le signe de la différence des carrés :
$$8 + 2\sqrt{15} - 15 = 2\sqrt{15} - 7$$ Or $15 > 12{,}25$ donc $\sqrt{15} > 3{,}5$, d'où $2\sqrt{15} > 7$.
Conclusion : La différence des carrés est positive et les deux nombres le sont aussi : $$\boxed{\sqrt{5}+\sqrt{3} > \sqrt{15}}$$