Exercices corrigés : Ordre et opérations

Exercice 1

Sachant que $2 < x < 5$, encadrer $-3x + 1$.

Corrigé

Appliquer les règles dans l'ordre.

• Étape 1 : multiplier par $-3$ : Le facteur est négatif, le sens de l'encadrement change :
• $$\begin{aligned} 2 < &\; x < 5 \\ -15 < &-3x < -6 \end{aligned}$$
• Étape 2 : ajouter $1$ : L'addition conserve le sens :
• $$-14 < -3x + 1 < -5$$
• Conclusion $$\boxed{-3x+1 \in \;]-14\,;\,-5[}$$

Exercice 2

Sachant que $-\dfrac{5}{6} \leqslant x < 0$, encadrer $\dfrac{1}{x}$.

Indication

Les deux bornes sont négatives : la règle de l'inverse s'applique.

Corrigé

Encadrer l'inverse de nombres négatifs.

• Étape 1 : vérifier $x$ est strictement négatif et minoré par $-\dfrac{5}{6}$ : les bornes sont de même signe, la règle s'applique.
• Étape 2 : inverser : Le sens se renverse :
• $$\begin{aligned} \frac{1}{x} &\leqslant \frac{1}{-\frac{5}{6}} \\ &\leqslant -\frac{6}{5} \end{aligned}$$
• Conclusion $$\boxed{\frac{1}{x} \leqslant -\frac{6}{5} < 0}$$

Exercice 3

Résoudre l'inéquation $\;-2x > 6$, puis $\;-\dfrac{x}{3} + 2 \leqslant 5$.

Corrigé

Attention au sens à chaque division par un négatif.

• Étape 1 : première inéquation : On divise par $-2$, donc le sens change :
• $$\begin{aligned} -2x &> 6 \\ x &< \frac{6}{-2} \\ x &< -3 \end{aligned}$$
• Étape 2 : seconde inéquation : On isole le terme en $x$, puis on multiplie par $-3$ :
• $$\begin{aligned} -\frac{x}{3} + 2 &\leqslant 5 \\ -\frac{x}{3} &\leqslant 3 \\ x &\geqslant -9 \end{aligned}$$
• Conclusion $$\boxed{S_1 = \;]-\infty\,;\,-3[ \qquad S_2 = [-9\,;\,+\infty[}$$