Exercices corrigés : Propriétés du produit scalaire

Exercice 1

Démontrez que |u⃗ + v⃗|² = |u⃗|² + |v⃗|² + 2(u⃗·v⃗).

Corrigé

• Utilisation du carré scalaire et distributivité : Pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ du plan, le carré de la norme est égal au carré scalaire : $$\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = (\vec{u} + \vec{v})^2 = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v})$$ En utilisant les propriétés de distributivité et de symétrie du produit scalaire, on développe cette expression.
• $$\begin{aligned} \|\vec{u} + \vec{v}\|^2 &= (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) \\ &= \vec{u} \cdot \vec{u} + \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{u} + \vec{v} \cdot \vec{v} \quad \left(\text{distributivité du produit scalaire}\right) \\ &= \|\vec{u}\|^2 + \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2 \quad \left(\text{car } \vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2 \text{ et } \vec{v} \cdot \vec{u} = \vec{u} \cdot \vec{v}\right) \\ &= \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 + 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) \end{aligned}$$
• Conclusion : Pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, on a $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 + 2(\vec{u} \cdot \vec{v})$.